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\title{\vspace{-4cm}\textbf{河北师范大学高等代数真题}}
\author{杨泽天}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{241, 241, 255}
\newcounter{problemname}
\newenvironment{problem}{\begin{shaded}\stepcounter{problemname}\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}. }}{\end{shaded}}
\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解答. }}{\par}
\newenvironment{note}{\par\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}的注记. }}{\par}
\pagestyle{plain}
\def\d{\mathrm{d}}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\date{}
\maketitle
\section*{2020年高等代数}
\begin{problem}[本题15分]
    设 $P$ 是一个数域， $f(x)\in P[x],a\in P,(x-a)|f(x^n)$\newline
    证明： $(x^n-a^n)|f(x^n)$. 
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    计算 $n$ 阶行列式
    $$ D_n=\left|\begin{array}{cccc}
        x_1^2+a_1 & x_1 x_2 & \cdots & x_1 x_n \\
        x_1 x_2 & x_2^2+a_2 & \cdots & x_2 x_n \\
        \vdots & \vdots & & \vdots \\
        x_1 x_n & x_2 x_n & \cdots & x_n^2+a_n
        \end{array}\right|,\left(a_i \neq 0, i=1,2, \ldots, n\right) . $$
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    设 $\alpha_1,\cdots \alpha_{n-1},\alpha_{n-r+1}$ 为 $n$ 元非齐次线性方程组 $AX=B$ 的 $n-r+1$ 个线性无关的解向量
    ，且秩 $(A)=r.$ 问 $\alpha_1-\alpha_{n-r+1},\cdots \alpha_{n-r}-\alpha_{n-r+1}$ 是否为导出组 $AX=0$ 的一个基础解系，
    并说明理由. 
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    设 $A$ 是 $n\times (n+1)$ 矩阵， $E_n$ 是 $n$ 阶单位阵，证明：存在 $(n+1)\times n$ 矩阵 $B$ 使得 $AB=E$ 的充要条件是
    $A$ 的秩为 $n$ .
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    证明：$n$ 阶实矩阵 $A$ 是正定矩阵的充要条件为存在一个正定矩阵 $B$ 使得 $A=B^2$ .
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    令 $$V=\left\{ f(x)\big|f(x)\text{是实系数多项式且} f(1)=0,\partial f(x)\le n \right\}.$$ 证明：
    $V$ 实数域 上的线性空间，并求 $V$ 的一组基.
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    设 $V$ 是数域 $P$ 上的由县委线性空间，$V_1$ 是 $V$ 的非零子空间，如果存在唯一的子空间 $V_2$ 使得 
    $V=V_1\oplus  V_2,$ 证明 $V_1=V$. 
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A^2=E$ ，证明：存在正交矩阵 $T$ 使得
    $$ 
    T^{\prime} A T=\left(\begin{array}{cc}
        E_r & 0 \\
        0 & -E_{n-r}
        \end{array}\right)
    $$
    其中 $T'$ 是 $T$ 的转置.
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    设 $P$ 是一个数域，对于线性空间 $P^n$ 上的线性变换 $\sigma$ :
    $$ \sigma(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(0,x_2,\cdots,x_n). $$
    证明 $\sigma^2 = \sigma$ ,并求 $\sigma$ 的核. 
\end{problem}

\begin{problem}[本题15分]
    设 $\sigma$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换，且 $\sigma $ 在某组基下的矩阵维对角矩阵，
    $\lambda_1,\cdots ,\lambda_r$ 是 $\sigma $ 的全部不同的特征值.
    \newline
    证明：存在 $V$ 的线性变换 $\sigma_1,\cdots ,\sigma_r$ 使得 $\sigma  = \lambda_1\sigma_1 + \cdots + \lambda_r\sigma_r$
    且 $\varepsilon = \sigma_1 + \cdots + \sigma_r$,其中 $\varepsilon$ 为恒等变换.  
\end{problem}
\end{document}